בגרות קיץ 2026 מועד ב׳ – פירמידה שבסיסה ריבועוקטורים 572 · שיעור 39
📄 נוסח השאלה
בסרטוט שלפניכם פירמידה SABCD שבסיסה ABCD הוא ריבוע.
המקצוע AS הוא גובה הפירמידה. אורך המקצוע AS שווה לאורך צלע הריבוע ABCD.
הנקודה E נמצאת על המקצוע SD כך ש־SE = 34SD.
הנקודה N נמצאת על המקצוע SC כך ש־SN = kSC. k הוא פרמטר.
נסמן: AS = w, AB = v, AD = u.
📄 נוסח השאלה · המשך
א. הביעו באמצעות k ו־u , v , w את הווקטור EN.
נתון: |EN| = √64 · |w|.
ב. מצאו את הערך של k.
הציבו k = 12, וענו על הסעיפים ג–ד.
ממקמים את הפירמידה במערכת צירים כך ש־A(0 , 0 , 0), B(0 , 12 , 0). הקודקוד D נמצא על החלק החיובי של ציר ה־x, והקודקוד S נמצא על החלק החיובי של ציר ה־z.
📄 נוסח השאלה · המשך
ג. (1) מצאו את שיעורי הנקודות E ו־N.
(2) מצאו את משוואת המישור ENB.
ד. האם נפח הפירמידה SENB גדול מנפח הפירמידה CENB, קטן ממנו או שווה לו? נמקו את תשובתכם.
סעיף א – הבעת הווקטור EN
נלך מ־E ל־N דרך הקודקוד S:
EN = ES + SN
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
הווקטור SD – נלך מ־S ל־A ומשם ל־D:
SD = SA + AD
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
SD = −w + u
📐 וקטור נגדי
הווקטור SC – מ־S ל־A, ל־B, ל־C. בריבוע BC = AD = u:
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
PQ + QR = PR
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
PQ + QR = PR
📐 וקטור נגדי
QP = −PQ
סעיף א – הבעת הווקטור EN · המשך
הווקטור SC – מ־S ל־A, ל־B, ל־C. בריבוע BC = AD = u:
SC = SA + AB + BC
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
SC = −w + v + u
הווקטור ES – נתון SE = 34SD, ולכן:
ES = −34SD
📐 וקטור נגדי
נציב SD = −w + u :
📐 חיבור וקטורים (כלל המשולש)
PQ + QR = PR
📐 וקטור נגדי
QP = −PQ
סעיף א – הבעת הווקטור EN · המשך
נציב SD = −w + u :
ES = −34(−w + u)
ES = −34u + 34w
הווקטור SN:
SN = kSC
נציב SC = u + v − w :
סעיף א – הבעת הווקטור EN · המשך
נציב SC = u + v − w :
SN = k(u + v − w)
SN = ku + kv − kw
נחבר:
EN = ES + SN
נציב ES = −34u + 34w , SN = ku + kv − kw :
סעיף א – הבעת הווקטור EN · המשך
נציב ES = −34u + 34w , SN = ku + kv − kw :
EN = −34u + 34w + ku + kv − kw
EN = −34u + 34w + ku + kv − kw
EN = (k − 34)u + kv + (34 − k)w
הסרטוט בקנה מידה (בהמשך יתברר ש־k = 12, ולכן N היא אמצע SC). המשולש ENB מסומן בתכלת:
✅ פתרון סופי: EN = (k − 34)u + kv + (34 − k)w
סעיף ב – הערך של k
נסמן את אורך צלע הריבוע ב־a. נתון ש־AS שווה לצלע, ולכן:
|u| = |v| = |w| = a
u ו־v הן צלעות סמוכות בריבוע, ולכן מאונכות. AS הוא גובה הפירמידה, ולכן w מאונך לבסיס, כלומר ל־u ול־v:
u · v = 0 , u · w = 0 ,
📐 וקטורים מאונכים
v · w = 0
נחשב את |EN|2 :
📐 וקטורים מאונכים
a ⊥ b ⟸ a · b = 0
סעיף ב – הערך של k · המשך
נחשב את |EN|2 :
|EN|2 = ((k − 34)u + kv + (34 − k)w)2
📐 גודל וקטור בריבוע
כשפותחים את הסוגריים, כל המכפלות המעורבות מתאפסות (u · v = u · w = v · w = 0 ), ונשארים רק הריבועים:
|EN|2 = (k − 34)2|u|2 + k2|v|2 + (34 − k)2|w|2
נציב |u| = |v| = |w| = a , ומתקיים (34 − k)2 = (k − 34)2 :
|EN|2 = (k − 34)2a2 + k2a2 + (k − 34)2a2
📐 גודל וקטור בריבוע
|a|2 = a · a
סעיף ב – הערך של k · המשך
|EN|2 = (k − 34)2a2 + k2a2 + (k − 34)2a2
|EN|2 = [2(k − 34)2 + k2] a2
מצד שני, לפי הנתון:
|EN|2 = (√64)2 · |w|2
נציב |w| = a :
|EN|2 = (√64)2 · a2 = 616a2
סעיף ב – הערך של k · המשך
|EN|2 = (√64)2 · a2 = 616a2
|EN|2 = 38a2
נשווה ונחלק ב־a2 (a > 0):
2(k − 34)2 + k2 = 38
2(k2 − 32k + 916) + k2 = 38
2k2 − 3k + 98 + k2 = 38
סעיף ב – הערך של k · המשך
2k2 − 3k + 98 + k2 = 38
3k2 − 3k + 98 − 38 = 0
3k2 − 3k + 34 = 0
נחלק ב־3:
k2 − k + 14 = 0
(k − 12)2 = 0
📐 נוסחת הכפל המקוצר
📐 נוסחת הכפל המקוצר
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
סעיף ב – הערך של k · המשך
(k − 12)2 = 0
📐 נוסחת הכפל המקוצר
k = 12
כלומר N היא אמצע המקצוע SC.
✅ פתרון סופי: k = 12
📐 נוסחת הכפל המקוצר
(a − b)2 = a2 − 2ab + b2
סעיף ג (1) – שיעורי E ו־N
צלע הריבוע היא AB = 12, ולכן גם AD = 12 ו־AS = 12. לפי המיקום שבשאלה:
A(0 , 0 , 0) ,
B(0 , 12 , 0)
D(12 , 0 , 0)
C(12 , 12 , 0)
S(0 , 0 , 12)
סעיף ג (1) – שיעורי E ו־N · המשך
S(0 , 0 , 12)
הנקודה E. קודם הווקטור SD:
SD = D − S
📐 וקטור בין שתי נקודות
נציב D(12 , 0 , 0) , S(0 , 0 , 12) :
SD = (12 − 0 , 0 − 0 , 0 − 12)
SD = (12 , 0 , −12)
📐 וקטור בין שתי נקודות
PQ = Q − P
סעיף ג (1) – שיעורי E ו־N · המשך
SD = (12 , 0 , −12)
SE = 34 · SD
נציב SD = (12 , 0 , −12) :
SE = 34 · (12 , 0 , −12)
SE = (9 , 0 , −9)
E = S + SE
📐 נקודה בעזרת וקטור
📐 נקודה בעזרת וקטור
P = S + SP
סעיף ג (1) – שיעורי E ו־N · המשך
E = S + SE
📐 נקודה בעזרת וקטור
נציב S(0 , 0 , 12) , SE = (9 , 0 , −9) :
E = (0 + 9 , 0 + 0 , 12 − 9)
E(9 , 0 , 3)
הנקודה N. עם k = 12:
SC = C − S
📐 וקטור בין שתי נקודות
📐 נקודה בעזרת וקטור
P = S + SP
📐 וקטור בין שתי נקודות
PQ = Q − P
סעיף ג (1) – שיעורי E ו־N · המשך
SC = C − S
📐 וקטור בין שתי נקודות
נציב C(12 , 12 , 0) , S(0 , 0 , 12) :
SC = (12 − 0 , 12 − 0 , 0 − 12)
SC = (12 , 12 , −12)
SN = k · SC
נציב k = 12 , SC = (12 , 12 , −12) :
📐 וקטור בין שתי נקודות
PQ = Q − P
סעיף ג (1) – שיעורי E ו־N · המשך
נציב k = 12 , SC = (12 , 12 , −12) :
SN = 12 · (12 , 12 , −12)
SN = (6 , 6 , −6)
N = S + SN
📐 נקודה בעזרת וקטור
נציב S(0 , 0 , 12) , SN = (6 , 6 , −6) :
N = (0 + 6 , 0 + 6 , 12 − 6)
📐 נקודה בעזרת וקטור
P = S + SP
סעיף ג (1) – שיעורי E ו־N · המשך
N = (0 + 6 , 0 + 6 , 12 − 6)
N(6 , 6 , 6)
✅ פתרון סופי: E(9 , 0 , 3) , N(6 , 6 , 6)
סעיף ג (2) – משוואת המישור ENB
שני וקטורים במישור:
EN = N − E
📐 וקטור בין שתי נקודות
נציב N(6 , 6 , 6) , E(9 , 0 , 3) :
EN = (6 − 9 , 6 − 0 , 6 − 3)
EN = (−3 , 6 , 3)
EB = B − E
📐 וקטור בין שתי נקודות
📐 וקטור בין שתי נקודות
PQ = Q − P
📐 וקטור בין שתי נקודות
PQ = Q − P
סעיף ג (2) – משוואת המישור ENB · המשך
EB = B − E
📐 וקטור בין שתי נקודות
נציב B(0 , 12 , 0) , E(9 , 0 , 3) :
EB = (0 − 9 , 12 − 0 , 0 − 3)
EB = (−9 , 12 , −3)
נחפש וקטור נורמל n = (a , b , c) המאונך לשניהם (מכפלה סקלרית 0):
n · EN = 0
📐 וקטורים מאונכים
📐 וקטור בין שתי נקודות
PQ = Q − P
📐 וקטורים מאונכים
a ⊥ b ⟸ a · b = 0
סעיף ג (2) – משוואת המישור ENB · המשך
n · EN = 0
📐 וקטורים מאונכים
נציב n = (a , b , c) , EN = (−3 , 6 , 3) :
(a , b , c) · (−3 , 6 , 3) = 0
−3a + 6b + 3c = 0
n · EB = 0
נציב n = (a , b , c) , EB = (−9 , 12 , −3) :
📐 וקטורים מאונכים
a ⊥ b ⟸ a · b = 0
סעיף ג (2) – משוואת המישור ENB · המשך
נציב n = (a , b , c) , EB = (−9 , 12 , −3) :
(a , b , c) · (−9 , 12 , −3) = 0
−9a + 12b − 3c = 0
נחבר את שתי המשוואות (c מתבטל):
−12a + 18b = 0
18b = 12a
סעיף ג (2) – משוואת המישור ENB · המשך
18b = 12a
b = 23a
נבחר a = 3 , ואז b = 2 . נחזור למשוואה הראשונה:
−3a + 6b + 3c = 0
נציב a = 3 , b = 2 :
−3 · 3 + 6 · 2 + 3c = 0
סעיף ג (2) – משוואת המישור ENB · המשך
−3 · 3 + 6 · 2 + 3c = 0
−9 + 12 + 3c = 0
3c = −3
c = −1
n = (3 , 2 , −1)
משוואת המישור, ונמצא את d בעזרת הנקודה B(0 , 12 , 0):
סעיף ג (2) – משוואת המישור ENB · המשך
משוואת המישור, ונמצא את d בעזרת הנקודה B(0 , 12 , 0):
3x + 2y − z + d = 0
📐 משוואת מישור
נציב B(0 , 12 , 0) :
3 · 0 + 2 · 12 − 0 + d = 0
24 + d = 0
d = −24
📐 משוואת מישור
ax + by + cz + d = 0
(a , b , c) – וקטור נורמל
(a , b , c) – וקטור נורמל
סעיף ג (2) – משוואת המישור ENB · המשך
d = −24
3x + 2y − z − 24 = 0
בדיקה: E: 27 + 0 − 3 − 24 = 0 ✓ ; N: 18 + 12 − 6 − 24 = 0 ✓
✅ פתרון סופי: 3x + 2y − z − 24 = 0
סעיף ד – השוואת הנפחים
לשתי הפירמידות SENB ו־CENB יש אותו בסיס – המשולש ENB. הגובה של כל אחת הוא המרחק של הקודקוד (S או C) מן המישור ENB.
ולכן, כשהבסיס משותף, משווים רק את הגבהים:
📐 נפח פירמידה
מרחק S(0 , 0 , 12) מן המישור 3x + 2y − z − 24 = 0:
hS = |3x0 + 2y0 − z0 − 24|√32 + 22 + (−1)2
📐 מרחק נקודה ממישור
נציב S(0 , 0 , 12) :
hS = |3 · 0 + 2 · 0 − 12 − 24|√32 + 22 + (−1)2
📐 נפח פירמידה
V = 13 · S · h
S – שטח הבסיס, h – הגובה
S – שטח הבסיס, h – הגובה
📐 מרחק נקודה ממישור
d = |ax0 + by0 + cz0 + d|√a2 + b2 + c2
סעיף ד – השוואת הנפחים · המשך
hS = |3 · 0 + 2 · 0 − 12 − 24|√32 + 22 + (−1)2
hS = |−36|√14 = 36√14
מרחק C(12 , 12 , 0) מן המישור:
hC = |3x0 + 2y0 − z0 − 24|√32 + 22 + (−1)2
📐 מרחק נקודה ממישור
נציב C(12 , 12 , 0) :
hC = |3 · 12 + 2 · 12 − 0 − 24|√14
📐 מרחק נקודה ממישור
d = |ax0 + by0 + cz0 + d|√a2 + b2 + c2
סעיף ד – השוואת הנפחים · המשך
hC = |3 · 12 + 2 · 12 − 0 − 24|√14
hC = |36 + 24 − 24|√14 = 36√14
hS = hC
הבסיס משותף והגבהים שווים, ולכן הנפחים שווים.
(אפשר לראות זאת גם בלי חישוב: הנקודה N, אמצע SC, נמצאת במישור, ולכן S ו־C נמצאות משני צדי המישור במרחקים שווים ממנו.)
✅ פתרון סופי: הנפחים שווים
📌 סיכום התשובות
סעיף א
EN = (k − 34)u + kv + (34 − k)w
סעיף ב
k = 12
סעיף ג (1)
E(9 , 0 , 3) , N(6 , 6 , 6)
סעיף ג (2)
3x + 2y − z − 24 = 0
סעיף ד
שווים
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא